SISTEMAS LINEALES II
DIAGRAMAS DE BODE
ELABORADO POR:
CASTRO OCHOA
RAMIRO
CRISTOBAL
MARTINEZ RIGOBERTO
MEZA
SAAVEDRA ANTONIO
MILLAN
MOLINA SAUL
VARELA PEÑA
JOSE GUILLERMO
DIAGRAMA DE BODE
En realidad, son dos trazados, uno el correspondiente
al logaritmo en base 10 del módulo de una función de transferencia sinusoidal;
y el otro es un diagrama del ángulo de fase, ambos representados en función de
la frecuencia, la representación normal de la amplitud logarítmica de la
función G(jw) es 20log|G(jw)|, la unidad de medida de la amplitud es el
decibelio (dB).
Podemos
encontrar una ventaja en la multiplicación de amplitudes, ya que se convierten
en sumas. El trazado de la curva del diagrama de Bode es sencillo, ya que se
puede aproximar asintóticamente. Además, se presentan las características de
alta y baja frecuencia en un solo diagrama.
Veamos a continuación el diagrama de Bode de
cada uno de los términos que pueden aparecer en una función de transferencia:
1.- Ganancia k
Una ganancia mayor que 1 tiene un valor
positivo en decibelios, y viceversa. La curva del diagrama de Bode para una
constante es una línea recta horizontal, en amplitud 20logk, y con un ángulo de
fase 0.
2.- Factores derivativos (jw)± 1
3.- Factores de primer orden
(1+jwT)± 1
Para bajas frecuencias, w << 1/T, se
puede aproximar el logaritmo anterior por:
Para altas frecuencias, w >> 1/T:
La pendiente, en este caso, es -20dB/déc.
En w = 1/T se encuentran las dos asíntotas.
Este punto recibe el nombre de frecuencia de corte.
El ángulo de fase: 
Para el término inverso, se cumple la relación
siguiente:
De manera que el diagrama de Bode nos queda:
El análisis que aparece arriba muestra que la
representación de la curva de respuesta de factor 1/ (1+jwT) puede ser
aproximado por dos líneas rectas asintotas, una a 0 db para el rango de
frecuencia 0 >w>1/T, y la otra por una línea recta con pendiente –20 db
/década (o –6 db /octava). Para el rango de frecuencias 1/T <w< µ .
La frecuencia a la que se encuentran las dos
asintotas, recibe el nombre de frecuencia de transición o corte ( también
llamados codos). Para el factor 1/
(1+jwT) la frecuencia w = 1/T es la
frecuencia de transición ya que en w = 1/T las dos asintotas tienen el mismo
valor. (la expresión asintótica de baja frecuencia en w = 1/T es 20 log
1db = 0 db y la expresión asintótica de
alta frecuencia en w = 1/T también es 20 log 1 db = 0 db). La frecuencia de
corte divide la curva de respuesta de frecuencia en dos regiones, una curva
para región de baja frecuencia, y una curva para la región de alta frecuencia.
La frecuencia de transición es muy importante trazar las curvas logarítmicas de
respuesta de frecuencia.
En el
ángulo de fase exacto ø del factor 1/ (1+jwT) es
Ø = - arc tan wT
Así la frecuencia 0, el ángulo de fase es cero
grados. A la frecuencia de corte, el ángulo de fase es
Ø = -arc tan T/T = - arc tan 1 = -450
El infinito, el ángulo de fase se hace –900.
Como el ángulo de fase esta dado por una función tangente inversa, el ángulo de
fase es antisimetrico respecto al punto de inflexión en ø = -450 .
Se puede calcular el error en la curva de
amplitud producido por el uso de las asintotas. El error máximo se produce en
la frecuencia de transición y es aproximadamente igual a –3 db, ya que
-20 log √(1+1) + 20 log 1 = -10 log 2 =
-3.03 db.
El error a una frecuencia una octava por debajo
de la frecuencia de corte, es decir, en w = 1/ 2T, es
-20 log√(1/4 + 1) + 20 log 1 = -20 log √5/2
= -0.97 db
El error a la frecuencia una octava por encima
la frecuencia de corte, es decir, en w = 2/T, es:
-20 log √(22 + 1) + 20 log 2 =
-20 log√ 5/2 = -0.97 db
Entonces el error una octava por debajo o por
encima de la frecuencia de transición es aproximadamente igual a -1 db. En forma similar, el error de una
década por debajo o por encima de la frecuencia de transición es
aproximadamente –0.04 db.
Como las asintotas son fácilmente dibujabais y
suficientemente cercanas a la curva exacta, el uso de esas aproximaciones al
trazar los diagramas de Bode es con pendiente para establecer rápidamente la
naturaleza general de las
características de respuesta de frecuencia con una mínima tarea de cálculo, y
se la puede utilizar como fase preliminar en el trabajo de diseño. Se requieren
curvas exactas de respuesta y de frecuencia. En la practica se puede trazar una
curva de respuesta y de frecuencia bastante precisa ubicando el punto de –3 db en la frecuencia de corte y los
puntos de –1 db una octava por debajo y por encima de esa frecuencia y conectando luego esos puntos por una curva suave.
Se hace notar que variar la constante de tiempo
T desplaza la frecuencia de corte a la izquierda o a la derecha, pero las
formas de la curva del logaritmo de amplitud y ángulo de fase quedan
constantes.
La función de transferencia 1/ (1+jwT) tiene las características de un
filtro de pasa bajo. Para las frecuencias por encima de w = 1/T, el logaritmo
de amplitud cae rápidamente hacia menos infinito. Esto es principalmente debido
a la presencia de la constante de
tiempo. En el filtro de pasabajo, la salida puede seguir fielmente a una
entrada sinuosidad a bajas frecuencias. Pero a medida que incrementa la
frecuencia de entrada, la salida ya no puede seguir a la entrada por que hace
falta cierto tiempo para que el sistema llegue a configurar esa amplitud. Así,
a altas frecuencias, la amplitud de salida tiende a cero y el ángulo de fase de
salida tiende a – 90 0 . Por tanto, si la función de entrada
contiene muchas armónicas, se producen fielmente las componentes de baja frecuencia a la salida, mientras que
las componentes de alta frecuencia son atenuadas y desfasadas. De modo que un sistema
de primer orden da duplicación exacta o casi exacta solamente para fenómenos
constantes o lentamente variables.
Una ventaja de la representación logarítmica es
que para factores recíprocos, por ejemplo el factor 1+ jwT, las curvas del
logaritmo de amplitud y ángulo de fase solo cambian de signo. Como :
20 log│1+ jwT│= -20 log│1/(1+jwT│
La frecuencia de transición es la misma para
ambos casos. La pendiente de la asintota de alta frecuencia de 1+ jwT es 20 db / década y el ángulo de fase varia de 0 a 900 al aumentar la frecuencia w desde cero a infinito.
Las formas de las curvas de ángulo de fase son
las mismas para cualquier factor de la forma
(1+jwT)±1. Por tanto es conveniente tener una plantilla en cartulina
para la curva de ángulo de fase. Esa plantilla va a ser usada repetidamente
para construir curvas de ángulo de fase para cualquier función de la forma
1/(1+ jwT). Si no se dispone de esa plantilla hay que ubicar varios puntos
sobre la curva. Los ángulos de fase de (1+jwT)±1 son
±450 para
w = 1/ T
±26.6 0 para
w = 1/2T
±5.70 para w = 1/10T
±63.4 0 para
w = 2/T
±84.30 para w = 10/T
Para el caso en que la función transferencia
dada tenga términos como (1+jwT)±n se puede realizar una construcción
asintótica similar. La frecuencia de transición sigue estando en w = 1/T, las
asintotas son líneas rectas. La asintota de baja frecuencia es una línea
horizontal en 0 db, mienta que la síntoma de alta frecuencia tiene una pendiente de –20 n db/década o 20n db /
década. El error resultante de las expresiones asintóticas es n veces la
correspondiente a (1+jwT)±1. El ángulo de fase es n veces el de (1+jwT)±1, en
cada punto de frecuencia.
4.- Factores cuadráticos [1+2x (jw/wn)+
(jw/wn)2]± 1
Si x > 1, el factor cuadrático se puede expresar como un producto de dos
de primer orden con polos reales. Si 0<x <1, este término es el producto de dos
factores complejos conjugados.
Para bajas frecuencias, w << wn,
el logaritmo de la amplitud es cero.
Para altas frecuencias, w >> wn,
.
La ecuación de la asíntota, para este caso, es una línea recta con pendiente
-40dB/déc que corta al eje en w=wn.
Cerca de la frecuencia wn, se
produce un pico de resonancia cuya amplitud es determinada por el factor de
amortiguamiento x .
El ángulo de fase del factor cuadrático 
es:
La curva de fase es antisimétrica respecto del
punto de inflexión F =-90º.
Si |G(jw)| tiene un valor pico en alguna
frecuencia, a ésta se la llama frecuencia de resonancia. Como el numerador de |G(jw)| es constante, el
pico se ha de producir cuando el denominador sea mínimo, es decir:
Esto se da para la siguiente frecuencia, que es
la de resonancia:
Esta frecuencia varía con el factor de
amortiguamiento, veamos de qué forma:
La ecuación del pico resonante Mr se
obtiene sustituyendo wr en |G(jw)|:
Este último caso significa que excitamos a su
frecuencia natural a un sistema no amortiguado, la magnitud de G(jw) tiende a
infinito.
El ángulo de fase de G(jw) a la frecuencia de
resonancia es:
Para el factor 
,
se obtienen sus curvas invirtiendo el signo tanto en el logaritmo de la
amplitud como en el ángulo de fase del factor inverso ya visto.
3.2.- Trazado
del diagrama de Bode
Para trazar correctamente el diagrama de Bode
de cualquier función de transferencia, deberemos seguir estos 5 pasos:
1) Expresar la función de transferencia como
producto de factores básicos.
2) Identificar las frecuencias de corte para
cada factor.
3) Dibujar las asíntotas de cada factor con la
pendiente adecuada.
4) Obtener las asíntotas de la función de
transferencia total.
5) Obtener la curva exacta.
Vamos a ver cómo se traza el diagrama de Bode con
un ejemplo:
Ejemplo:
El primer paso es colocar G(jw) de forma
normalizada:
Por tanto, tenemos los siguientes términos
básicos:
Ahora dibujamos las curvas asintóticas para
cada factor y sumándolas algebraicamente obtenemos la curva asintótica total:
La pendiente de G(jw) es distinta para cada
intervalo de frecuencias:
Para trazar la curva de G(jw) del ángulo
de fase, se hace la suma algebraica de todas las curvas individuales:
TABLA RESUMEN:
DIAGRAMA DE BODE
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FdT |
GANANCIA [dB] |
FASE [ º] |
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CONCLUSIONES
Bibliografía:
Sistemas Modernos de Control
Teoría y Práctica.
Richard C. Dorf
Ingeniería de Control Moderna
Ogata.
Sistemas de Control Automatico.
Kuo.
Internet.