Examen Estatal 1999

Instituto Tecnológico de Chihuahua
Examen Olimpiada Estatal de Matemáticas 1999

Julio 5 de 1999

1. Encuentra el menor numero de cuatro dígitos que cumple con que el producto de sus dígitos es igual un primo elevado a la sexta potencia, y la suma de sus dígitos es igual al mismo primo elevado al cubo mas uno.

2. Sea ABC un triangulo, M y N los pies de las alturas por B y C respectivamente. Sea L el punto medio de BC y k un punto en la prolongación de LN tal que LK=LN. Demostrar que: ÐMKL+ÐLMN=90°

3. Se acomodan los números de la siguiente forma:
   
    

• Encontrar la suma de los números que están en la columna central hasta el renglón n.
• Demostrar que ninguno de los números de esa columna es divisible entre 9.

4. Natalie vive en una ciudad cuadriculada de 10×10 cuadras, y su casa esta en una esquina del centro. Decide hacer recorridos de figuras cerradas (empieza y termina en su casa que abarcan 65 manzanas, si en su recorrido no puede repetir un mismo punto ¿cuántos diferentes recorridos puede hacer?

5. En  un cuadrado ABCD, sobre la diagonal de BD se tiene el punto E, de tal forma que DE=2BE. Se traza una circunferencia tangente en el punto E de tal forma que el centro O de la circunferencia se encuentra sobre la prolongación del lado AD por A. Se trazan las otras tangentes DF y BG.

            Demuestre que:

• EF=OD
• OB×EG=DE²

Examen Estatal 2000

Chihuahua, Chih. a 5 de Julio de 2000
Duración: 4 horas y media

1. Se tiene una puntícula de 100 x 100 puntos, ¿ Cuántos triángulos isósceles se pueden formar, de tal forma que sus vértices estén en la puntícula y su base (la cual será el lado desigual) sea horizontal?
   
2. Sea D ABC un triángulo y L,M,N los puntos medios de BC, AC y AB, respectivamente, además, sean H₁, H₂, H₃ los ortocentros de D ANM, D NBL y D MLC, respectivamente. Si se sabe que el área de D ABC es 2000, encuentre el área de el D H₁H₂H_3.
   
   
• Demuestre que : 360 | a⁹ - a⁷ - a⁵ + a³ para toda "a" entera.
  
  
3. Se tiene la siguiente figura, donde los números impares se colocan en los triángulos de pico hacia arriba y los pares en los triángulos de pico hacia abajo.
   
   
• ¿ En que renglón se encontrará el número 2000?
  
  
4. ¿ Cuanto es la suma de los triángulos de pico hacia arriba menos los triángulos de pico hacia abajo (ejem: hasta el renglón 2 sería 1 + 3 + 5 – 2 = 7), desde el primer renglón hasta el renglón que tiene al número 2000?
   
5. Sea ABCD un cuadrilátero donde BC > AB , CD = DA y además BD es bisectriz del ángulo ABC. Demuestre que ABCD es cíclico.
   
   
6. Se tiene un candado cuyas posibles combinaciones van del 0,0,0,0 al 9,9,9,9 (10,000 combinaciones) y además se cuenta con la siguiente información:
   
   
• La combinación 1,9,3,2 tiene uno de los dígitos correcto y los demás incorrectos.
• La combinación 2,7,4,8 tiene uno de los dígitos correcto y los demás incorrectos.
• La combinación 9,2,1,5 tiene uno de los dígitos correcto y los demás incorrectos.
  
  Nota: Suponiendo que la combinación correcta fuera 3,5,6,4 entonces la combinación 7,5,8,6 tendrá solo un digito correcto y tres incorrectos, ya que solo estaría correcto el 5.
  
  ¿ Cuál es el mínimo número de combinaciones que se deben checar para tener la seguridad de abrir el candado?

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(DCR)

3. El Neto trae en su cartera los siguientes billetes: 10 de $20, 10 de $50, 5 de $100 y 5 de $200 y quiere pagar una cuenta de $200.
   ¿De cuantas formas puede hacerlo? (Una forma es diferente a otra si se usa otro billete, aunque sea de la misma denominación).
   
   ¿Qué valores de cuentas es posible pagar exactamente?

(RDCG)

4. En un triangulo ABC, se traza su circuncírculo, se traza una paralela a BC que sea tangente al circulo y al punto de tangencia llamémosle D. La bisectriz del ángulo B corta a AD en G. Si AB= 4 y AC = 10 encontrar la razón:

(DCR)

5. Encontrar cinco primos P1 < P2 < P3 < P4 < P5 tales que:
   

   P₁ + P₃  = P₂²
   P₄ = 2P₁ + P₃
   P₅ = 3P₁ + 2P₃ + P₄

(JJAB)

6. • Demostrar que si se escogen 37 puntos de una puntícula de 8 x 8 necesariamente existirán 3 puntos colineales consecutivos.
   • Encontrar un ejemplo de 36 puntos donde no existan 3 puntos colineales consecutivos.

(DCR)

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Examen Estatal 2002

Tec de Monterrey
Cd. Juárez, Chihuahua, 28 de junio 2002

1. En una cuadricula de 100x100 dividida en cuadritos de 1x1, se trazan 2 líneas de tal manera que la primera línea parte del vértice D al punto medio E del lado BC. La segunda línea parte del vértice C al punto F de tal manera que DF = 20.
   ¿Cuantos cuadrados cortan ambas diagonales?
   
   
2. Sea ABC un triangulo cualquiera y L un punto en AB tal que CL es la altura. La bisectriz por A corta a CL en M y el circuncírculo del triangulo ALM corta a AC en N.
   Demuestra que CN × AL = CM × ML + ML².
   
3. Cuantos números capicúa menores que 10,000 son múltiplos de 11 y la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto.
   
4. Sobre una circunferencia se marcan 3 puntos ABC, se traza la bisectriz del ángulo ABC y corta la circunferencia en D. Si BD = AC. Demuestra que ABCD es un trapecio isósceles.
   
5. Una pantalla gigante que se encuentra en el centro de la cuidad de los “Lamentos” al primer minuto de ser encendida muestra el número 1 dentro de un cuadrado sin divisiones. Al siguiente minuto, se muestran los números del 2 al 5 en un cuadrado dividido en 4 partes como se muestra a continuación:
   
   

   2	3
   4	5

   Al tercer minuto, aparecen los números del 6 al 14 en un cuadrado dividido en nueve partes de la siguiente manera:
   
   

   6	7	8
   9	10	11
   12	13	14

   
   

   • Si la pantalla se prende a las 9:00 A. M. ¿A que hora aparecerá el número 2002? (indique también en que renglón y columna del cuadrado se encuentra).
   • Demuestre que la suma de los números de cualquiera de las 2 diagonales del cuadrado que se muestra al minuto “n” es :

   

6. Tenemos una cuadrícula de 3 x 3. Se pintan 4 cuadritos. Decimos que una cuadrícula es separada (ejemplos A y B) si no es posible unir los 4 cuadritos sin despegar el lápiz. ¿Cuántas diferentes cuadrículas separadas existen?
   
   

   A)	B)	Cuadricula No separada

   
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